Die Theorie · Lösung mit der Gaußschen Fehlerquadratmethode · Berechnung mit Excel · Abweichung des Tachos

Luftwiderstand

Wie hoch ist der Roll- und Luftwiderstand eines Autos ?

Neue Spezialreifen für den Geländewagen, Werbeversprechen über den c_w-Wert des neuen Autos - aber stimmt das auch alles? Kann man den Luftwiderstand und den Rollwiderstand eines Autos (und damit vollmundige Werbeversprechen) ohne Windkanal und ohne aufwendige Technik prüfen?

Im Prinzip ja ! Sehen wir uns dazu einmal die wirkenden Kräfte im Bild an:

Natürlich gibt es noch weitere Kräfte, z.B. die Reibung in den Radlagern und in Getrieben, die beim auskuppeln nicht von den Rädern getrennt werden, z.B. Gelenkwellen oder Differentialgetriebe. Aber die folgende Rechnung soll ja nur ein Beispiel geben, wie man den Luftwiderstand berechnen kann. Die Genauigkeit hängt u.a. auch von der verwendeten Messtechnik ab.

Der Luftwiderstand:

	FLuft	Luftwiderstandskraft in [N]
	?Luft	Dichte der Luft, etwa 1,2 [kg/m³]
	cw	Luftwiderstandsbeiwert, dimensionslos
	A	Projizierte Stirnfläche des Fahrzeugs in [m²]
	v	Fahrgeschwindigkeit in [m/s]

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern. Beim Rollwiderstand sieht die Gleichung so aus:

FRoll = mFz ? g ? kRoll	FRoll	Rollwiderstandakraft in [N]
	mFZ	Fahrzeugmasse in [kg]
	g	Erdbeschleunigung, etwa 9,81 m/s²
	kRoll	Rollwiderstandsbeiwert, dimensionslos

Für unsere Berechnung wollen wir annehmen, dass nur diese beiden Kräfte das Ausrollen des Fahrzeugs bremsen. Um Rollwiderstand und Luftwiderstand zu bestimmen, ist folgender Versuchsablauf vorgesehen:

• Ein Fahrzeug wird auf eine bestimmte Geschwindigkeit v₀ beschleunigt.
• Sobald die Geschwindigkeit erreicht ist, wird ausgekuppelt, die Fahrgeschwindigkeit v₀ festgehalten (Tacho) und gleichzeitig eine Stoppuhr gestartet.
• In dem Augenblick, in dem das Fahrzeug zum Stillstand kommt, wird die Stoppuhr angehalten und die Zeit t_R festgehalten.
• Der Versuch erfolgt bei Windstille und das Fahrzeug rollt in der Ebene aus.
• Es werden mehrere Versuche mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausgeführt.

Unter diesen Randbedingungen lässt sich dann die Differentialgleichung der Bewegung nach Newton formulieren:

m_Fz · a = - F_Luft - F_Roll

a, die Beschleunigung ist nichts anderes als die Änderung der Fahrgeschwindigkeit durch die Reibungskräfte, also a = dv/dt. Damit lassen sich alle Größen in die Differentialgleichung (DGL) einsetzen:

Nach einigen Umformungen erhält man:

Mit der eingezeichneten Vorzeichenanalyse ergibt sich auch der Lösungsweg dieser DGL.  Mit einer Substitution kann man die Gleichung etwas übersichtlicher gestalten:

Bei der Auflösung der DGL wird eine Integration erforderlich. Die Grenzen ergeben sich aus dem Verlauf der Messung:

• Die Geschwindigkeit beginnt beim Startwert v₀ und fällt über verschiedene Werte von v bis auf 0: v₀ ? v ? 0
• Die Zeit beginnt bei 0 und läuft über verschiedene Werte von t bis zur gemessenen Zeit t_R: 0 ? t ? t_R

Die Integration führt auf die Lösung:

Wie man sieht, besteht die Formel zu einem großen Teil aus einem Ausdruck, der von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt und für die Dauer des Ausrollens konstant ist. Mit dieser Formel kann man bei gegebenen Parametern (c_w?A, k_Roll...) jetzt also ausrechnen, welche Geschwindigkeit v(t) das Fahrzeug nach einer bestimmten Zeit t noch hat. Umgekehrt kann man diese Gleichung auch nutzen, um bei gegebener Ausrollzeit diese Konstanten zu berechnen.

Will man abwarten, bis das Fahrzeug steht, dann gilt die Bedingung v(t_R) = 0 und es ergibt sich folgende Gleichung für das ausrollen.

Wenn man mehrere Messungen macht und die richtigen Parameter (c_w ? A, k_Roll...) kennt, sollte die Gleichung -wie gezeigt- immer Null ergeben.

In der Praxis werden sich allerdings Unterschiede ergeben, der tatsächliche Wert der Gleichung wird nicht Null, sondern ein kleiner Wert r sein, der in der Gaußschen Fehlerquadratmethode auch als Residuum bezeichnet wird:

Prinzipiell ist das Problem nichtlinear, die normale Gaußsche Fehlerquadratmethode bringt hier keine Lösung. Statt dessen muss iterativ eine Lösung gefunden werden. Das Gauß-Verfahren wird dazu modifiziert, das modifizierte Verfahren ist auch als Gauß-Newton-Verfahren bekannt.

Für dieses Verfahren sind einige mathematische Vorarbeiten erforderlich, denn das Residuum muss nach den gesuchten Parametern l und r partiell abgeleitet werden:

Daraus kann man jetzt ein Gleichungssystem zur Lösung formulieren:

Zugegeben, das ist jetzt mathematisch gesehen brutal hart - aber irgendwie muss man das Publikum ja beeindrucken und die Zweifler zum Schweigen bringen. Doch es geht auch ganz einfach, wenn man alles in einer Tabellenkalkulation verpackt. Dann kann jeder Hobbyanwender schnell ein paar Messungen durchführen und einen guten Hinweis für c_w-Wert und den Rollwiderstand bekommen

Als einfache Hilfe habe ich eine  Excel-Datei (XLS-Format) erstellt. Die Datei enthält Makros, das sollte auch bei den Makro-Sicherheitseinstellungen von Excel berücksichtigt werden.

Diese Datei enthält eine Anleitung, wie man mit praktischen Fahrversuchen eine Tabelle aufstellt und eingibt.

Für den praktischen Versuch müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

• Der Test wird auf ebener Strecke durchgeführt, keine Kurvenfahrten!
• Windstille beim Versuch
• Die Geschwindigkeitsmessung muss genau genug sein
• Das Fahrzeuggewicht sollte genau bekannt sein

• Genauigkeit des Tachos: Die Gesetzeslage gibt schon einen ersten Anhalt, wie der nächste Abschnitt zeigen wird.
• Wie sieht es mit den Reifen aus? Ihr Abrollumfang ändert sich mit der Profiltiefe und dem Luftdruck, abgesehen davon gibt es schon Durchmessertoleranzen, die mit dem Fabrikat schwanken. Alles in allem ändern die Reifen so die Geschwindigkeit, die der Tacho anzeigt.
• Wie genau ist die Zeitmessung zwischen 'Kupplung treten' und 'Fahrzeug ist zum Stillstand gekommen'?
• Wie genau ist das Gewicht des Fahrzeuges bekannt? Der Fahrzeugschein macht hierüber nicht immer genaue Angaben, insbesondere Zubehör wird gerne vergessen. Anfang der 90er fiel Mercedes mit der S-Klasse auf, weil teilweise Zubehör aus der Aufpreisliste im Gegenwert von 200 kg nicht für die Berechnung des Leergewichtes berücksichtigt wurde …
  Bei normalen Fahrzeugen macht schon der Unterschied zwischen leerem und vollem Tank mindestens 40 kg (ca. 50 Liter) aus, vielleicht hilft auch ein Beifahrer bei den Messungen.
• Ist die Teststrecke wirklich horizontal? Gefälle oder Steigungen verändern die Ausrollzeit und damit die Genauigkeit der Messung.
• Ist es wirklich Windstill? Wind beim Test verändert die Ausrollzeit.
• Besonderheiten im Aufbau: Geschwindigkeitsabhängig ausfahrende Spoiler (eventuell per Sicherung deaktivieren), außen angebrachte Reserveräder (Geländewagen), elektronisch verstellbare Fahrwerke (Regulierung der Bodenfreiheit), geöffnete Fenster/Schiebedächer und lässig ausgestellte Ellbogen.

• Nur für die aktuelle Bereifung (mit verschiedenen Messungen lassen sich so aber auch verschiedene Reifensorten vergleichen)
• Nur mit den aktuellen aerodynamischen Hilfen (Fuchsschwanz, Spoiler)

Nach der EU Richtlinie 2000/7/EG vom 20.03.2000 darf ein Tacho niemals weniger anzeigen, als die tatsächliche Geschwindigkeit, aber er darf schnelleres Fahren vortäuschen. Die Grenze ist hier bei max. 10% der aktuellen Geschwindigkeit + 4 km/h (bei Krafträdern + 8 km/h). Bei 60 km/h darf ein Tacho also zwischen 60…70 km/h anzeigen. Außerdem muss der Tacho Geschwindigkeiten in der Einheit km/h anzeigen. In EU-Ländern mit imperialen Einheiten (Meilen) muss auch eine Meilen-Skala vorhanden sein.

Diese großzügige Toleranz lässt sich damit erklären, dass zur Geschwindigkeitsmessung Raddrehzahlen gemessen werden. Vergleicht man einen neuen Reifen und einen bis auf die gesetzliche Mindestprofiltiefe abgefahrenen Reifen, so lassen sich hier bis zu 7 mm Unterschied im Reifenradius feststellen. Dazu kommt noch der Reifendruck, der den Abrollumfang vergrößern oder verkleinern kann.